結論から先に言うと
同じ量を何回か測ったとき、最も確からしい値(最確値)は、条件がそろっていれば単純な平均。平均とのズレが残差で、残差の二乗和から標準偏差が出る。試験で間違えやすいのは、「1回の観測の標準偏差」と「最確値(平均)の標準偏差」は別の数字だという点です。条件が違う観測を混ぜるときは、重量(重み)をつけた平均にします。
トラバースや水準測量の計算を一通りやると、次に「観測値そのものをどう扱うか」で手が止まる。同じ距離を5回測って値が少しずつ違うとき、どれを採用するのか。標準偏差は1.4なのか3.2なのか。選択肢に似た数字が並ぶので、定義があいまいだと一気に崩れる分野だ。
この記事では、最確値・残差・標準偏差・重量・誤差伝播の基本形を、編集部で作った数値例とPythonで検算した結果で順に追う。あわせて、国土地理院が公表している過去問(令和7年No.3、令和5年No.3)を実際に開いて、公表されている正解と一致することを確かめた。トラバース計算はトラバース測量の計算を例題で解説した記事で扱っているので、そちらの前段にあたる内容と考えてほしい。
出典は、国土地理院が公開している資料のうち、実際に開いて確認したものだけを末尾にまとめた。
1. 最確値と残差:まず「平均」と「平均からのズレ」
真の値は分からないから、最確値で代用する
測定値には必ず誤差が混じる。真の値は誰にも分からないので、複数の観測値から「最も確からしい」値を求めて、それを成果にする。これが最確値の考え方だ。
系統誤差(器械の癖や気象条件など、原因が分かって補正できる誤差)がすでに取り除かれていて、残っているのが偶然誤差(原因が特定できず、プラスにもマイナスにも出る誤差)だけだと考えられる場合、同じ条件で観測した値の最確値は算術平均になる。
例題1:同じ距離を5回測る
トータルステーション(TS)で、同じ2点間の距離を同じ条件で5回観測した、という想定の数値例だ(編集部で作成。実際の観測ではない)。TSの仕組みはトータルステーション(TS)の解説記事にまとめてある。
| 回 | 観測値(m) | 残差 v(mm) |
|---|---|---|
| 1 | 120.352 | +1 |
| 2 | 120.349 | −2 |
| 3 | 120.355 | +4 |
| 4 | 120.351 | 0 |
| 5 | 120.348 | −3 |
最確値は5つの平均で、120.351 m。残差vは「観測値 − 最確値」で、表の右端のとおりになる。
ここで確かめておきたいのが、残差の合計は必ず0になること。+1 −2 +4 0 −3 = 0。計算の途中でこの合計が0にならなければ、平均か引き算のどこかを間違えている。検算に使える。
残差の二乗を足した値(残差二乗和)は、1+4+16+0+9 = 30(mm²)。標準偏差の計算は、すべてこの数字から始まる。
2. 標準偏差:「1回の観測」と「最確値」を分けて読む
1回の観測の標準偏差
標準偏差は、観測値のばらつきの大きさを表す。同じ例題1で、残差二乗和30(mm²)を使って出す。
- 1回の観測の標準偏差 = √(残差二乗和 ÷ (観測回数 − 1)) = √(30 ÷ 4) = 約2.74 mm
分母が5ではなく4(観測回数−1)になる点が、高校までの標準偏差と違って引っかかりやすいところだ。
最確値(平均)の標準偏差
平均は5回分をならした値なので、1回の観測よりばらつきが小さくなる。
- 最確値の標準偏差 = 1回の観測の標準偏差 ÷ √観測回数 = 2.74 ÷ √5 = 約1.22 mm
観測回数を4倍にすると、平均の標準偏差は半分になる。回数を増やせば精度は上がるが、効き方は√に比例するので、倍々で増やさないと効果が頭打ちに感じられる。
分母が「n−1」になるのはなぜか
分母を観測回数nではなくn−1にする理由は、平均を観測値自身から求めてしまっているから。残差は「真の値からのズレ」ではなく「平均からのズレ」なので、そのまま二乗して観測回数で割ると、ばらつきを小さく見積もってしまう。実際に、標準偏差3mmの観測を5回繰り返す実験を10万回シミュレーションすると、分散(標準偏差の二乗)の平均は、nで割ると約7.2、n−1で割ると約9.0になった(真の値は3²=9)。n−1で割ると、偏りなく9に近づく。
この「割る数」について、国土地理院の「作業規程の準則」付録6(計算式集)では、平均計算の「単位重量当たりの観測値の標準偏差(m₀)」を、残差の二乗和を「観測方程式の数 − 未知数の数」で割った平方根として定義している(基準点測量の2.4.3、水準測量の3.1.3)。同じ量を5回測る場合は、観測方程式の数が5、未知数(求めたい最確値)が1なので、分母は5−1=4。上の式と同じになる。本記事では、この準則付録6の定義に合わせて計算している。
なお、準則の式は重量Pが入った形(VᵀPV)で、同じ精度の観測なら重量はすべて1として扱う。重量は次の節で扱う。
3. 過去問で確かめる:令和7年No.3と令和5年No.3
令和7年(2025年)測量士補試験 No.3:10回観測の最確値
国土地理院の令和7年測量士補試験の問題(問題1のNo.3)は、TSで2地点間の距離を同じ条件で10回観測した結果(50.251m、50.252m、50.255mなど)から、系統誤差が取り除かれているとしたときの最確値を問うもの。10個の値の合計は502.530、平均は50.253 mで、組合せは「ア=系統誤差、イ=偶然誤差、ウ=50.253m」。国土地理院が公表した解答一覧のNo.3の正解は2で、この選択肢と一致した(Pythonで検算し、公表正解と一致することを確かめた)。
この問題の詳しい解説は令和7年 測量士補 過去問解説【第1弾】No.1〜4にある。誤差の種類(系統誤差・偶然誤差)を見分ける知識と、平均を出す計算がセットで出ている。
令和5年(2023年)測量士補試験 No.3:標準偏差と辺長
こちらは、本記事の内容そのものを問うた問題だ。三角形ABCの∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表の結果を得る。
| 回 | 測定値 | 60°からのズレ(秒) |
|---|---|---|
| 1 | 59°59′57″ | −3 |
| 2 | 60°00′01″ | +1 |
| 3 | 59°59′59″ | −1 |
| 4 | 60°00′05″ | +5 |
| 5 | 59°59′58″ | −2 |
問いは2つ。(ア)「∠ABCの角度の最確値の標準偏差」と、(イ)最確値を∠ABCとして、辺AB=3.0m、辺BC=8.0mのときの辺CAの長さ。
(ア)は、ズレの平均が0なので最確値は60°00′00″。残差(秒)は −3、+1、−1、+5、−2 で、二乗和は9+1+1+25+4 = 40。
- 1回の観測の標準偏差 = √(40 ÷ 4) = 約3.16″
- 最確値の標準偏差 = 3.16 ÷ √5 = 約1.41″ → 約1.4″
(イ)は余弦定理で、CA² = 3² + 8² − 2×3×8×cos60° = 9 + 64 − 24 = 49。CA = 7.0 m。
選択肢は「1.4″と7.0m」「1.4″と9.8m」「2.8″と5.6m」「2.8″と9.8m」「3.2″と7.0m」の5つで、国土地理院の公表正解はNo.3=1(1.4″、7.0 m)。Pythonの計算結果と一致した。
ここで選択肢の作り方に注目すると、3.2″は「1回の観測の標準偏差」(約3.16″)、2.8″は残差二乗和を5で割ったときの値(約2.83″)に当たる。「最確値の標準偏差」を問われているのに1回の観測の値を選ぶ、あるいは分母をnにしてしまう、というひっかけがそのまま選択肢に入っている形だ。問題文の「最確値の」という4文字を読み落とさないことが、最初の関門になる。
4. 重量(重み):条件が違う観測を混ぜるとき
平均を単純に取れないとき
ここまでは「同じ条件で測った値」の話だった。精度の違う観測を混ぜるときは、精度の高い観測を重く、低い観測を軽く扱う。その重さが重量(重み、記号はP)で、重量をつけた平均を重量平均(加重平均)という。
- 重量平均 = Σ(P×観測値) ÷ ΣP
- 重量は、標準偏差の二乗の逆数に比例する(精度が2倍良ければ、重量は4倍)
この「標準偏差の二乗の逆数を重量とする」という考え方は、国土地理院の作業規程の準則にも出てくる(第70条第1項第二号。直接水準測量と渡海(河)水準測量が混合する路線の平均計算)。
例題2:精度の違う2つの観測を混ぜる
同じ辺を、標準偏差2mmの器械Aと、標準偏差4mmの器械Bで測った、という数値例だ(編集部で作成)。
- 器械A:85.412 m(標準偏差2mm)→ 重量 1/2² = 0.25
- 器械B:85.420 m(標準偏差4mm)→ 重量 1/4² = 0.0625
重量の比は4:1。重量平均は、(0.25×85.412 + 0.0625×85.420) ÷ (0.25+0.0625) = 85.4136 m。単純平均の85.416 mより、精度の高いAに寄っている。
この重量平均の標準偏差は、√(1 ÷ (0.25+0.0625)) = 約1.79 mm。どちらの器械単独(2mm、4mm)よりも小さくなる。精度の悪い観測も、重みをつけて混ぜれば、全体の精度に貢献する。
観測回数が違う場合も同じ考え方になる。1回の標準偏差が3″の角を、2回平均した値(標準偏差約2.12″)と4回平均した値(1.5″)では、重量の比は1:2、つまり観測回数に比例する。
水準測量では「路線長に反比例」
水準測量の重量は、準則で距離の逆数とされている(第70条第1項第一号。直接水準測量の平均計算)。付録6の水準網平均計算でも、水準点間の観測高低差の重量は P = 1/S(Sは路線長)と書かれている(3.1.1)。
なぜ距離の逆数なのか。標高を一つずつ積み上げる水準測量では、距離が長いほど据え付けの回数が増え、誤差が足し合わされる(次の節の誤差伝播)。誤差の二乗が距離に比例すると見れば、重量=1/誤差の二乗は、距離の逆数になる。水準測量の許容範囲が「○mm√S」の形で書かれているのも、同じ理由だ。
例題3:3つの路線から求めた標高
ある水準点の標高を、3本の路線から求めた、という数値例だ(編集部で作成)。
| 路線 | 路線長 S | 求めた標高(m) | 重量 P=1/S |
|---|---|---|---|
| A | 1.0 km | 23.415 | 1.0 |
| B | 2.0 km | 23.421 | 0.5 |
| C | 4.0 km | 23.409 | 0.25 |
重量平均は(1.0×23.415 + 0.5×23.421 + 0.25×23.409) ÷ 1.75 = 23.41586 m。単純平均23.415 mより、路線の短いAとBに寄る。
残差は −0.9mm、+5.1mm、−6.9mm。ここから、準則付録6(3.1.3)の定義(重量つき残差二乗和 ÷ (観測方程式数 − 未知数))で、1km当たり(重量1)の観測の標準偏差を出すと、約3.6mm。この数値例は3本の路線から1つの標高を求めているので、観測方程式の数は3、未知数は1。分母は3−1=2になる。
最確値(重量平均)の標準偏差は、3.59 ÷ √(重量の合計1.75) = 約2.7 mm。路線ごとの標準偏差は、約3.6mm×√路線長なので、1km=3.6mm、2km=5.1mm、4km=7.2mm。
計算の流れ(野帳の付け方や、往復観測の誤差配分、昇降式・器高式)は水準測量の計算方法を例題で解説した記事に任せて、ここでは「長い路線ほど軽く扱う」という重量の発想だけ持ち帰ればいい。
5. 誤差伝播の基本形:足し算と掛け算で誤差がどう積もるか
足し算:誤差は二乗して足してから√
独立な観測値を足し引きした量の標準偏差は、各標準偏差の二乗を足して、√を取る。
- 標準偏差σ₁とσ₂の距離を足す:σ = √(σ₁² + σ₂²)
- 同じ標準偏差σの観測をn回足す:σ×√n
たとえば、20mの巻尺を1本ずつ当てて5区間(計100m)を測ったとする。1区間の標準偏差が3mmなら、100m全体の標準偏差は3×√5 = 約6.7 mm。5倍(15mm)ではなく、約2.2倍にしかならない。標準偏差3mmの観測を足していくシミュレーションでも、約6.7mmになることを確認した。
水準測量の許容範囲が「○mm√S」(Sは距離km)の形をしているのは、この性質による。準則の第69条(点検計算)では、環閉合差の許容範囲を、3級水準測量で10mm√S、4級で20mm√Sとしている。距離が4倍になっても、許容される誤差は2倍にしかならない。
掛け算:面積の誤差
縦×横で面積を出すときの誤差は、少し形が変わる。縦a、横bの標準偏差をσₐ、σ_bとすると、
- 面積の標準偏差 = √( (b×σₐ)² + (a×σ_b)² )
例として、20.000m × 15.000mの長方形の敷地の縦横を、それぞれ標準偏差5mmで測ったとする(編集部で作成)。面積は300.000 ㎡。標準偏差は√((15×0.005)² + (20×0.005)²) = 0.125 ㎡。坪に直すと約0.04坪だ。
どれだけ丁寧に測っても、面積の数字には±0.1㎡台の幅が残る。10万回のシミュレーションでも、面積の標準偏差は約0.125㎡になった。
なお、この誤差伝播の式そのものは、今回開いた国土地理院の資料には出てこない。誤差の二乗和の平方根という一般的な数学の結果を、編集部が導出して検算したものだ(上のシミュレーションと一致する)。試験の勉強では、「足し算は二乗和の平方根」「n回足すと√n倍」の2点を押さえておけば、観測値の処理の問題には十分だろう。
6. 試験での解き方と、つまずきやすい点
最後に、計算の順番を整理しておく。観測値の処理の問題は、次の手順でほぼ解ける。
- 観測値の平均(最確値)を出す。計算を楽にするため、共通する桁を引いた「ズレ」で扱う(例題1なら120.350mからのmm、令和5年の問題なら60°からの秒)
- 各観測値の残差(観測値−平均)を出し、合計が0になることを確認する
- 残差の二乗和を出す
- 問いが「1回の観測の標準偏差」なら √(二乗和 ÷ (n−1))、「最確値(平均)の標準偏差」なら、それをさらに√nで割る
- 条件が違う観測を混ぜるなら、重量(標準偏差の二乗の逆数、水準測量なら距離の逆数、観測回数に比例)をつけた平均にする
つまずきやすいのは、①分母のn−1(nで割ると小さく出る)、②「1回の観測」と「最確値」の取り違え、③重量が精度の二乗に関係する(精度が2倍で重量は4倍)点。選択肢に紛らわしい数字が並ぶ問題なので、どの標準偏差を問われているかに線を引いてから計算を始めるといい。計算問題全体のパターンは、記事中ほどのカードで紹介した公式一覧に分野ごとにまとめてある。
7. まとめ
- 同じ条件で複数回観測した値の最確値は、系統誤差を除いたうえでの算術平均。残差(観測値−平均)の合計は必ず0になる
- 標準偏差は残差二乗和から出す。分母は観測回数−1で、準則付録6の「観測方程式の数−未知数の数」と同じ考え方
- 最確値(平均)の標準偏差は、1回の観測の標準偏差を√観測回数で割った値。令和5年No.3は、この2つの取り違えを誘う選択肢になっていた
- 条件の違う観測は、重量をつけた平均にする。重量は標準偏差の二乗の逆数に比例し、水準測量では路線長の逆数、観測回数が違う場合は回数に比例する
- 誤差の足し合わせは二乗和の平方根。n回足すと√n倍で、水準測量の「○mm√S」もこの性質による
よくある質問(FAQ)
Q1. 標準偏差の分母は、nとn−1のどちらですか?
平均を観測値自身から求める場合は、n−1です。国土地理院の作業規程の準則(付録6)も、平均計算の標準偏差を「観測方程式の数−未知数の数」で割る形で定義しています。同じ量をn回測る場合は、観測方程式がn個、未知数が1個なので、n−1になります。令和5年の測量士補試験No.3も、この定義で計算した値(1.4″)が公表正解でした。
Q2. 「1回の観測の標準偏差」と「最確値の標準偏差」はどう違いますか?
前者は観測1回分のばらつき、後者は平均したあとの値のばらつきです。後者は前者を√観測回数で割った値になるため、観測回数を増やすほど小さくなります。例題1では、前者が約2.74mm、後者が約1.22mmでした。
Q3. 重量は、いつ使うのですか?
条件の違う観測(精度が違う、観測回数が違う、路線長が違う)を混ぜて、1つの値を求めるときです。同じ条件の観測だけなら、重量はすべて同じ(1)なので、単純平均で済みます。
Q4. 水準測量で、重量が路線長の逆数になるのはなぜですか?
距離が長いほど誤差が積み重なるためです。誤差の二乗が距離に比例すると見ると、重量(標準偏差の二乗の逆数)は距離の逆数になります。準則第70条にも「距離の逆数を重量とし」と定められています。
Q5. 誤差伝播の式は、試験で覚えておく必要がありますか?
基本の2つ、「足し算は各標準偏差の二乗を足して√」「同じ観測をn回足すと√n倍」を押さえておけば、観測値の処理の問題にはまず対応できます。掛け算(面積など)の一般式は、試験では必要になる場面が限られます。
出典・参考
いずれも2026年10月26日に確認した。
- 測量士補試験問題・解答例及び実施結果(国土地理院): https://www.gsi.go.jp/LAW/SHIKEN/past.html
- 令和7年(2025年)測量士補試験 問題1(PDF、No.3を使用): https://www.gsi.go.jp/common/000270177.pdf
- 令和7年測量士補試験 解答一覧(PDF、No.3の正解=2): https://www.gsi.go.jp/common/000270180.pdf
- 令和5年(2023年)測量士補試験 問題(PDF、No.3を使用): https://www.gsi.go.jp/common/000249818.pdf
- 令和5年測量士補試験 解答一覧(PDF、No.3の正解=1): https://www.gsi.go.jp/common/000250866.pdf
- 国土交通省告示第413号「作業規程の準則」(平成20年3月31日、令和7年3月31日国土交通省告示第240号の改正までを含む全文PDF、国土地理院掲載): https://www.gsi.go.jp/common/000258734.pdf
- 第2編 第3章 レベル等による水準測量:第69条(点検計算。環閉合差の許容範囲 ○mm√S)、第70条(平均計算。距離の逆数を重量とすること、標準偏差の二乗の逆数を重量とすること、単位重量当たりの観測の標準偏差の許容範囲)
- 作業規程の準則 付録6 計算式集(国土地理院掲載): https://www.gsi.go.jp/common/000258740.pdf
- 基準点測量 2.4.3 平均計算(5)単位重量当たりの観測値の標準偏差(m₀)、2.7.1 単純重量平均による方法(重量による平均)
- 水準測量 2 水準測量観測の標準偏差、3.1.1 観測方程式(重量 P=1/S)、3.1.3 平均の結果(m₀=√(VᵀPV/(m−n)))
- 確かめられなかったもの: 誤差伝播の一般式(今回開いた国土地理院の資料には載っていないため、編集部が導出して検算した)、「何㎡までの面積差なら測量誤差とみなせるか」の公的な基準(本文では断定していない)。
数値例はすべて編集部が作成し、Pythonで検算した。実在の観測・案件ではない。過去問は国土地理院が公表した問題・正解を開いて照合したが、問題文の正確な表現・図表は公式PDFで確認してほしい。個別の土地の面積や精度の判断は、土地家屋調査士・測量士などの専門家にご確認ください。
コメント